By Jürgen Neukirch

ISBN-10: 3540375473

ISBN-13: 9783540375470

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, sleek und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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Example text

Anderen Gr¨ oßenbereich, so gilt mit a : b = c : d auch b : a = d : c. Im Text steht, dies sei nun klar. 7 jedoch nichts zu tun. Er ist aber leicht zu beweisen. Ist n¨ amlich mb > na, so ist na < nb und folglich nc < md, so dass md > nc ist. Ebenso folgt aus mb = na, dass md = nc ist. Schließlich impliziert mb < na, dass auch md < nc ist. Damit ist der Zusatz bewiesen. 8. Ist P ein Gr¨ oßenbereich, sind a, b, d ∈ P und ist a > b, so ist a : d > b : d und d : b > d : a. Beweis. Der nun folgende Beweis ist in gestraffter Form der euklidische.

An , b1 , . . , bn ∈ P und k ∈ N. , wie wir es formulierten, n n kbi = k i:=1 bi . i:=1 Beweis. Euklid beweist den Satz nur f¨ ur den Fall n = k = 2. Sein Beweis verl¨auft wie folgt. AB und CD seien Gleichvielfache von e bzw. f . Nach Voraussetzung gilt AB = AG + GB mit AG = GB = e und CD = CH + HD mit CH = HD = f . Er argumentiert weiter AB + CD = AG + GB + CH + HD = AG + CH + GB + HD und beachtet, dass AG + CH = GB + HD = e + f ist. Man beachte, dass die Assoziativit¨ at und Kommutativit¨ at der Addition benutzt wurde.

Diese Definition z¨ ahlt zu den Glanzleistungen der Mathematik, wie der Leser, wenn er bereit ist, mir weiterhin zu folgen, selbst noch erkennen wird. Sie hat Kritik hervorgerufen, insbesondere weil in ihr u ¨ber alle nat¨ urlichen Zahlen quantifiziert wird. Doch bis heute wurde keine bessere Definition gefunden. In unserer Sprache lautet sie: Sind a und b Gr¨ oßen gleicher Art und sind c und d ebenfalls Gr¨oßen gleicher Art, aber nicht notwendig von gleicher Art wie a und b, so haben a und b das gleiche Verh¨altnis wie c und d, in Zeichen a : b = c : d, genau dann, wenn f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen m und n gilt: Ist ma > nb, so ist mc > nd.

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Algebraische Zahlentheorie (Springer-Lehrbuch Masterclass) by Jürgen Neukirch

by Jeff

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